MENTAL, un Lenguaje Compacto

MENTAL, UN LENGUAJE
COMPACTO

“Comprender es comprimir” (Gregory Chaitin)

“La comprensión es la mínima expresión de lo máximo compartido” (Jorge Wagensberg)

“Comprender es relacionar una realidad con algo más compacto que ella misma y, en el límite, con su propia esencia” (Jorge Wagensberg)

“La ciencia es la forma más simple y comprimida de comprender la realidad” (Jorge Wagensberg)

La Compresión
Los objetos matemáticos finitos se pueden representar de manera extensiva (especificándolos un a uno) o de manera intensiva (especificando un patrón, una forma, una propiedad o un algoritmo). Cuando la representación intensiva de un objeto es más corta que la extensiva, decimos que los hemos comprimido o compactado.

Los objetos matemáticos infinitos solo pueden ser representados de forma intensiva. Si no es posible hacerlo, entonces dichos objetos son inexpresables con nuestros recursos lingüísticos.

Este enfoque de la compresión es utilizado por Gregory Chaitin [2002, 2005, 2006] para ilustrar las limitaciones de la matemática:

Si un objeto puede ser comprimido, esto equivale a decir que se ha descubierto una teoría, ley o patrón a través del cual se simplifica su representación. La teoría permite comprender mejor, es decir, desplazar la conciencia hacia lo general. Cuanto más simple es una teoría, mejor es, porque mejor se comprende.

El problema de comprimir un conjunto de datos, hoy día se aborda mediante una rama de la matemática llamada “Teoría de la Información Algorítmica”. La información algorítmica de un conjunto de datos es la longitud del programa que los genera, independientemente de los recursos computacionales (memoria y tiempo de ejecución), y es una medida de la complejidad. Diferentes lenguajes de programación pueden dar lugar a diferentes longitudes de programa.

Por ejemplo, π es un número trascendente , con infinitas cifras decimales. Sin embargo es comprimible (representable) mediante un algoritmo relativamente sencillo.
Existen objetos matemáticos que no pueden ser comprimidos. Un número aleatorio finito no es comprimible, porque no existe una ley o patrón que lo exprese de manera más compacta que la forma extensiva. Un número aleatorio infinito es incomprimible, irrepresentable e inexpresable.

Chaitin [2005] pone un ejemplo de objeto matemático infinito no comprimible: un número que llama “omega” (Ω), que es la probabilidad de que un algoritmo elegido al azar (entre todos los posibles algoritmos) llegue a un resultado final. Este es un número perfectamente definido, pero que es imposible calcularlo completamente. Este problema es análogo al “problema de la parada” de una máquina de Turing: no existe un meta-algoritmo (un algoritmo cuyo argumento es un algoritmo, que a su vez tiene sus propios datos) que determine si dicho algoritmo parará, es decir, llegará a un resultado final.
Un algoritmo, por definición, es “elegante” (smart) si es el más corto posible de todos los algoritmos que producen el mismo resultado. Es imposible demostrar que un algoritmo es elegante, porque este problema es análogo también al problema de la parada de una máquina de Turing.

El lenguaje APL

Kenneth Iverson creó una notación matemática compacta para manipular matrices con el objeto de simplificar la enseñanza del álgebra a sus estudiantes. Esta notación le sirvió para crear en 1962, junto con Adin D. Falkoff, el lenguaje de programación APL (las siglas de “A Programming Language”), un lenguaje interactivo de alto nivel de abstracción que ofrecía una notación compacta, simple y fácil de aprender, desafiando la notación matemática tradicional, una notación orientada principalmente para la manipulación de matrices (array-oriented language), que incluye operaciones aritméticas y lógicas. Para Iverson [1980], la notación era una “herramienta del pensamiento”.

El lenguaje APL sirvió de inspiración a otros lenguajes de programación de tipo funcional y al software matemático en general. Iverson recibió el premio Turing en 1979 por sus contribuciones a la notación matemática en los lenguajes de programación.

Las características principales de APL son:

Es un lenguaje funcional, pero incluye también asignación, por lo que no es un lenguaje funcional puro.
Es un lenguaje interactivo y normalmente interpretado. Utiliza un entorno o espacio de trabajo (workspace), donde se almacenan programas y datos.
Usa símbolos, en lugar de palabras clave. Usa un juego de caracteres no disponible en los teclados estándar.
La estructura básica de datos es la matriz multidimensional (array).
Es un lenguaje de alto nivel independiente del sistema operativo y de la arquitectura de la máquina.
Distingue entre funciones y operadores. Las funciones son monádias o diádicas y usan matrices como argumentos (que pueden ser variables o constantes) y que retornan matrices como resultados. Los operadores son funciones de orden superior, pues sus argumentos son funciones.
La mayoría de las primitivas son funciones u operadores. Una primitiva importante es la asignación, que no es ni función ni operador.
Un programa APL es una cadena de funciones y operadores que actúan sobre matrices.
Las expresiones se evalúan de derecha a izquierda. No existen símbolos para indicar la precedencia de funciones u operadores.
Permite matrices anidadas (nested arrays).

Las ventajas de APL son:

La programación es más productiva que con los lenguajes convencionales.
Es muy eficiente en la ejecución de operaciones matriciales, incluso de ciera complejidad (como la inversión de matrices).
El usuario puede manipular datos sin necesidad de desarrollar programas formales.

Ejemplos:

n ← 4 5 6 7 (creación de un vector n con los valores especificados)
n+4 (suma 4 a todos los valores de n: 8 9 10 11)
+/n (suma todos los valores de n: 38)
ί4 (valores 1 a 4: 1 2 3 4)
3+ί4 (suma 3 a los valores anteriores: 4 5 6 7)
+/(3+ί4) (suma valores anteriores: 22)

(ί es la letra griega "iota")

El lenguaje J

En 1989, Kenneth Iverson, junto con Roger Hui y Arthur Whiney, crearon un prototipo de nuevo lenguaje que constituyó el germen del lenguaje J, una mejora de APL con algunas características de los lenguajes funcionales FP (Function Programming) y FL (Function Level).

FP fue creado por John Backus (el creador del lenguaje Fortran y de la notación BNF para la definición de las gramáticas de los lenguajes de programación). Backus se inspiró en APL para crear FP. FL es el sucesor de FP y fue creado en 1989 por John Backus junto con John Williams y Edward Wimmers. La may parte de las ideas innovaforas de estos dos lenguajes fueron implementadas en J.

Las características principales de J son:

Es una notación matemática ejecutable. De hecho, Iverson ha escrito una serie de textos matemáticos utilizando J como notación.
Es un lenguaje compacto. Problemas matemáticos que requieren cientos de líneas en Basic o Pascal se pueden expresar en pocas líneas de J.
Como APL, es un lenguaje interactivo e interpretado.
En lugar de símbolos especiales utiliza el juego de caracteres ASCII estándar junto con dos caracteres adicionales (el punto y los dos puntos) para extender el juego de símbolos y sus significados correspondientes.
Como APL, simplifica la manipulación de matrices.
Todas las operaciones tienen la misma prioridad.
Utiliza 3 tipos de datos: números, literales y encerrados (boxed). Un dato encerrado es un dato dentro de una caja.
La única colección de datos es la matriz (array), que puede ser de cualquier dimensión. Por ejemplo, un número es una matriz de dimensión cero, y un texto es una matriz de dimensión 1. También soporta matrices dispersas, donde los valores se almacenan referenciados por sus índices.
Tiene una orientación semántica próxima al lenguaje natural. Las funciones se llaman verbos. Las constantes se llaman nombres. Los adverbios y las conjunciones modifican las acciones de los verbos. Los verbos corresponden a las funciones de APL, y los adverbios y las conjunciones corresponden a los operadores de APL.
Está organizado como un diccionario, con palabras o identificadores (sustantivos, verbos, adverbios, conjunciones, etc.).
Soporta objetos y clases, pero no son tipos de datos, sino formas de nombrar a las expresiones.
Al contrario que APL, soporta estructuras de control como if-then-else y while.
De la misma manera que FP/FL, soporta la programación tácita a nivel funcional. En la definición de una función no se incluye los nombres de los parámetros, pues son tácitos. Y en la definición de una función se especifican otras funciones. La programación tácita también se denomina “point-free style” (estilo libre de puntos) o “pointless style” (estilo sin puntos), donde los puntos se refieren a los parámetros.

El siguiente ejemplo calcula el valor medio de una serie de valores numéricos:
El argumento tácito es un vector (matriz unidimensional).
+/ indica sumar todos los elementos del vector (“/” es un adverbio).
% indica hallar el valor medio.

Desventajas de J:

Es necesario aprender muchos recursos del lenguaje: los identificadores o palabras del diccionario, con su sintaxis y su semántica.
La programación tácita (sin nombres de los argumentos) hace un tanto críptico el código del programa.

MENTAL y la Compresión
La ciencia, en general, tiende a utilizar el menor número de conceptos. Busca la suprema comprensión conceptual y la máxima simplicidad posible.

MENTAL es un lenguaje comprimido en un triple sentido: 1) a nivel semántico por el reducido número de primitivas; 2) a nivel sintáctico porque no se utilizan palabras clave, solo símbolos; 3) porque facilita la compresión de los programas.

MENTAL está orientado a expresiones, que resultan de combinar las primitivas del lenguaje:

Las expresiones que pueden ser operativas o descriptivas, extensivas o intensivas, finitas o infinitas. Las expresiones comprimidas son las descriptivas y las intensivas.
Pueden combinarse todos los tipos de expresiones. Pueden especificarse expresiones comprimidas de orden superior.
No utiliza palabras clave. Las primitivas usan solo símbolos.
MENTAL, con sus primitivas semánticas universales, junto con los axiomas que relacionan las primitivas, permite fundamentar la matemática y comprimirla en el sentido de que las primitivas son grados de libertad con las que se puede expresar la matemática. MENTAL es comprensión suprema.

Comparando MENTAL con APL y J:

MENTAL ofrece un paradigma unificador o universal desde el cual se pueden especificar todos los paradigmas particulares. No solo está orientado a temas matemáticos, como APL y J.
MENTAL pretende ser el lenguaje canónico para la informática y la matemática (incluida la lógica).
Según Iverson, la notación es una herramienta del pensamiento. La verdadera herramienta del pensamiento son los arquetipos de la conciencia.
MENTAL une sintaxis y semántica como dos caras de una misma moneda.
MENTAL es mucho más simple, intuitivo y flexible que APL y J.

MENTAL vs. APL

Las expresiones anteriores de APL son prácticamente casi igual de compactas en MENTAL:

n=(4 5 6 7) // creación de un vector n con los valores especificados
(n° = ( [n↓]+4 )) // suma 4 a todos los valores de n: n=(8 9 10 11)
+⊣n // suma todos los valores de n: 38
1…4 // valores de 1 a 4
3+[1…4] // suma 3 a los valores anteriores: 4 5 6 7
+⊣(3+[1…4]) // suma de los valores anteriores: 22

MENTAL vs. J

La definición de la función "medio" sería menos compacta que en J, pero más inteligible.
Los datos encerrados (boxes) corresponden en MENTAL a las secuencias y los conjuntos.
MENTAL va más allá de las matrices dispersas. Se puede asignar una clave (expresión) a otra expresión para referenciarla.

Bibliografía

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